Zadania maturalne z trygonometrii: związki między funkcjami trygonometrycznymi

Trygonometria stanowi jeden z ważniejszych działów matematyki spotykanych na egzaminie maturalnym. Szczególnie istotne są związki między funkcjami trygonometrycznymi, które pozwalają na przekształcanie wyrażeń i rozwiązywanie złożonych problemów matematycznych. W tym artykule przyjrzymy się najważniejszym zależnościom między funkcjami trygonometrycznymi oraz omówimy typowe zadania maturalne z tego zakresu.

Podstawowe funkcje trygonometryczne

Zanim przejdziemy do związków między funkcjami trygonometrycznymi, przypomnijmy sobie definicje sześciu podstawowych funkcji trygonometrycznych:

\(\sin \alpha\) – sinus kąta \(\alpha\)
\(\cos \alpha\) – cosinus kąta \(\alpha\)
\(\tan \alpha\) – tangens kąta \(\alpha\)
\(\cot \alpha\) – cotangens kąta \(\alpha\)
\(\sec \alpha\) – secans kąta \(\alpha\)
\(\csc \alpha\) – cosecans kąta \(\alpha\)

Na maturze najczęściej operujemy na czterech pierwszych funkcjach. Secans i cosecans występują rzadziej, ale warto znać ich definicje:

\(\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}\)
\(\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}\)

Podstawowe związki między funkcjami trygonometrycznymi

Poniżej przedstawiamy najważniejsze zależności, które często wykorzystujemy w zadaniach maturalnych:

1. Zależności między tangensem, cotangensem a sinusem i cosinusem:

   \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)

   \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\tan \alpha}\)

2. Podstawowa tożsamość trygonometryczna:

   \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)

   Jest to jedna z najważniejszych tożsamości, która wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa.

3. Pochodne tożsamości podstawowej:

   \(1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \sec^2 \alpha\)

   \(1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \csc^2 \alpha\)

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne pozwalają na sprowadzenie funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta do funkcji kąta ostrego. Poniżej przedstawiamy najważniejsze z nich:

Dla kątów \(\alpha + k \cdot 90°\) (gdzie k jest liczbą całkowitą):

\(\sin(90° – \alpha) = \cos \alpha\)
\(\sin(90° + \alpha) = \cos \alpha\)
\(\sin(180° – \alpha) = \sin \alpha\)
\(\sin(180° + \alpha) = -\sin \alpha\)
\(\sin(270° – \alpha) = -\cos \alpha\)
\(\sin(270° + \alpha) = -\cos \alpha\)
\(\sin(360° – \alpha) = -\sin \alpha\)
\(\sin(360° + \alpha) = \sin \alpha\)

\(\cos(90° – \alpha) = \sin \alpha\)
\(\cos(90° + \alpha) = -\sin \alpha\)
\(\cos(180° – \alpha) = -\cos \alpha\)
\(\cos(180° + \alpha) = -\cos \alpha\)
\(\cos(270° – \alpha) = -\sin \alpha\)
\(\cos(270° + \alpha) = \sin \alpha\)
\(\cos(360° – \alpha) = \cos \alpha\)
\(\cos(360° + \alpha) = \cos \alpha\)

Funkcje trygonometryczne kątów ujemnych:

\(\sin(-\alpha) = -\sin \alpha\)
\(\cos(-\alpha) = \cos \alpha\)
\(\tan(-\alpha) = -\tan \alpha\)
\(\cot(-\alpha) = -\cot \alpha\)

Wzory na sumę i różnicę kątów

Te wzory są niezwykle przydatne przy przekształcaniu wyrażeń trygonometrycznych:

\(\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\)
\(\sin(\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta\)

\(\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta\)
\(\cos(\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\)

\(\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 – \tan \alpha \tan \beta}\)
\(\tan(\alpha – \beta) = \frac{\tan \alpha – \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}\)

Wzory na podwojenie kąta

Wzory te są szczególnymi przypadkami wzorów na sumę kątów:

\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha\)
\(\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha – 1 = 1 – 2\sin^2 \alpha\)
\(\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 – \tan^2 \alpha}\)

Wzory na połowę kąta

Przydatne przy upraszczaniu wyrażeń i rozwiązywaniu równań:

\(\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{2}\)
\(\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}\)
\(\tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}\)

\(\sin \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 – \cos \alpha}{2}}\)
\(\cos \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}\)
\(\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}\)

Zamiana iloczynu funkcji trygonometrycznych na sumę

\(\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha – \beta) – \cos(\alpha + \beta)]\)
\(\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha – \beta) + \cos(\alpha + \beta)]\)
\(\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha – \beta)]\)

Zamiana sumy funkcji trygonometrycznych na iloczyn

\(\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha – \beta}{2}\)
\(\sin \alpha – \sin \beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha – \beta}{2}\)
\(\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha – \beta}{2}\)
\(\cos \alpha – \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha – \beta}{2}\)

Przykładowe zadania maturalne

Zadanie 1: Przekształcanie wyrażeń trygonometrycznych

Treść: Uprość wyrażenie \(4\sin^2 x – 3\).

Rozwiązanie:
Wykorzystamy tożsamość \(\sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2}\):

\(4\sin^2 x – 3 = 4 \cdot \frac{1 – \cos 2x}{2} – 3 = 2(1 – \cos 2x) – 3 = 2 – 2\cos 2x – 3 = -1 – 2\cos 2x\)

Odpowiedź: \(4\sin^2 x – 3 = -1 – 2\cos 2x\)

Zadanie 2: Dowodzenie tożsamości trygonometrycznej

Treść: Udowodnij, że \(\frac{\sin \alpha}{1 – \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}\).

Rozwiązanie:
Pomnóżmy lewą stronę przez \(\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha}\):

\(\frac{\sin \alpha}{1 – \cos \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha (1 – \cos \alpha)}\)

Wiemy, że \(\sin^2 \alpha = 1 – \cos^2 \alpha\), więc:

\(\frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha (1 – \cos \alpha)} = \frac{1 – \cos^2 \alpha}{\sin \alpha (1 – \cos \alpha)} = \frac{(1 – \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{\sin \alpha (1 – \cos \alpha)} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}\)

Co kończy dowód.

Zadanie 3: Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Treść: Rozwiąż równanie \(\sin 2x = \sin x\) dla \(x \in [0, 2\pi)\).

Rozwiązanie:
Wykorzystamy wzór na podwojenie kąta: \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\)

Równanie przyjmuje postać: \(2\sin x \cos x = \sin x\)

Przenieśmy wszystkie wyrazy na jedną stronę:

\(2\sin x \cos x – \sin x = 0\)

\(\sin x (2\cos x – 1) = 0\)

Otrzymujemy dwa przypadki:

1) \(\sin x = 0\), czyli \(x = 0\), \(x = \pi\) lub \(x = 2\pi\) dla \(x \in [0, 2\pi)\)

2) \(2\cos x – 1 = 0\), czyli \(\cos x = \frac{1}{2}\), co daje \(x = \frac{\pi}{3}\) lub \(x = \frac{5\pi}{3}\) dla \(x \in [0, 2\pi)\)

Odpowiedź: \(x \in \{0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}\}\)

Zadanie 4: Nierówności trygonometryczne

Treść: Rozwiąż nierówność \(\sin^2 x – \cos x > 0\) dla \(x \in [0, 2\pi)\).

Rozwiązanie:
Wykorzystamy podstawową tożsamość trygonometryczną:

\(\sin^2 x = 1 – \cos^2 x\)

Podstawiając do nierówności:

\(1 – \cos^2 x – \cos x > 0\)

\(1 – \cos x – \cos^2 x > 0\)

\(1 – \cos x (1 + \cos x) > 0\)

Rozważmy dwa przypadki:

1) Jeśli \(1 + \cos x > 0\), czyli \(\cos x > -1\), to nierówność jest równoważna \(\cos x < \frac{1}{1 + \cos x}\).

2) Jeśli \(1 + \cos x < 0\), czyli \(\cos x < -1\), to nie ma rozwiązań, gdyż \(\cos x \geq -1\) dla każdego \(x\).

Zauważmy, że \(\frac{1}{1 + \cos x} \geq 1\) dla \(\cos x \in [-1, 0]\), a \(\cos x \leq 1\) dla każdego \(x\).

Zatem nierówność jest spełniona, gdy \(\cos x < 0\) lub \(\cos x = 0\).

Dla \(x \in [0, 2\pi)\) mamy \(\cos x < 0\) dla \(x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})\) oraz \(\cos x = 0\) dla \(x = \frac{\pi}{2}\) lub \(x = \frac{3\pi}{2}\).

Odpowiedź: \(x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]\)

Kalkulator funkcji trygonometrycznych

Poniższy kalkulator pomoże ci obliczyć wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych dla podanego kąta w stopniach lub radianach:

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Poniżej przedstawiamy wykresy podstawowych funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens i cotangens.