Przygotowanie do sprawdzianu: Funkcja wykładnicza i logarytmiczna w matematyce

Wprowadzenie do funkcji wykładniczych i logarytmicznych

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne należą do najważniejszych funkcji w matematyce. Pojawiają się w wielu dziedzinach nauki, od ekonomii (wzrost kapitału), przez fizykę (rozpad promieniotwórczy), aż po biologię (wzrost populacji). W tym artykule omówimy szczegółowo obie funkcje, ich właściwości, wykresy oraz najważniejsze zastosowania. Materiał ten pomoże Ci przygotować się do sprawdzianu z tego zakresu.

Funkcja wykładnicza – definicja i podstawowe właściwości

Funkcja wykładnicza to funkcja postaci:

\[ f(x) = a^x \]

gdzie \(a\) jest podstawą funkcji wykładniczej, przy czym \(a > 0\) i \(a \neq 1\).

Dziedzina funkcji wykładniczej to zbiór liczb rzeczywistych: \(\mathbb{R}\).

Zbiór wartości funkcji wykładniczej to zbiór liczb dodatnich: \((0, +\infty)\).

Najważniejsze właściwości funkcji wykładniczej

1. Funkcja wykładnicza jest zawsze dodatnia: \(a^x > 0\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\).
2. Funkcja \(f(x) = a^x\) jest rosnąca dla \(a > 1\) i malejąca dla \(0 < a < 1\).
3. Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa (każdej wartości \(x\) przyporządkowuje inną wartość \(y\)).
4. Funkcja wykładnicza jest ciągła i różniczkowalna na całej dziedzinie.
5. Punkt \((0, 1)\) zawsze należy do wykresu funkcji wykładniczej, ponieważ \(a^0 = 1\) dla każdego \(a \neq 0\).

Wykres funkcji wykładniczej

Poniżej przedstawiono wykresy funkcji wykładniczych dla różnych wartości podstawy \(a\):

Wzory i tożsamości dla funkcji wykładniczej

Oto najważniejsze wzory dotyczące funkcji wykładniczej:

\[ a^{x+y} = a^x \cdot a^y \]

\[ a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} \]

\[ (a^x)^y = a^{xy} \]

\[ a^{-x} = \frac{1}{a^x} \]

\[ a^0 = 1 \]

Funkcja logarytmiczna – definicja i podstawowe właściwości

Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Zapisujemy ją jako:

\[ f(x) = \log_a x \]

gdzie \(a\) jest podstawą logarytmu, przy czym \(a > 0\) i \(a \neq 1\).

Dziedzina funkcji logarytmicznej to zbiór liczb dodatnich: \((0, +\infty)\).

Zbiór wartości funkcji logarytmicznej to zbiór liczb rzeczywistych: \(\mathbb{R}\).

Najważniejsze właściwości funkcji logarytmicznej

1. Funkcja \(f(x) = \log_a x\) jest rosnąca dla \(a > 1\) i malejąca dla \(0 < a < 1\).
2. Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa.
3. Funkcja logarytmiczna jest ciągła i różniczkowalna na całej dziedzinie.
4. Punkt \((1, 0)\) zawsze należy do wykresu funkcji logarytmicznej, ponieważ \(\log_a 1 = 0\) dla każdego \(a > 0, a \neq 1\).
5. Dla \(a > 1\): \(\log_a x < 0\) gdy \(0 < x < 1\) oraz \(\log_a x > 0\) gdy \(x > 1\).

Wykres funkcji logarytmicznej

Poniżej przedstawiono wykresy funkcji logarytmicznych dla różnych wartości podstawy \(a\):

Wzory i tożsamości dla funkcji logarytmicznej

Oto najważniejsze wzory dotyczące funkcji logarytmicznej:

\[ \log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y \]

\[ \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x – \log_a y \]

\[ \log_a (x^y) = y \cdot \log_a x \]

\[ \log_a a = 1 \]

\[ \log_a 1 = 0 \]

\[ a^{\log_a x} = x \]

\[ \log_a a^x = x \]

\[ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} \]

Związek między funkcją wykładniczą a logarytmiczną

Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Oznacza to, że:

\[ \text{Jeśli } y = a^x, \text{ to } x = \log_a y \]

Wykresy funkcji \(y = a^x\) i \(y = \log_a x\) są symetryczne względem prostej \(y = x\), co ilustruje poniższy wykres:

Równania wykładnicze

Równania wykładnicze to równania, w których niewiadoma występuje w wykładniku. Podstawowe typy równań wykładniczych:

1. Równania postaci \(a^x = b\), gdzie \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(b > 0\)

Rozwiązanie: \(x = \log_a b\)

Przykład: Rozwiąż równanie \(2^x = 8\).

Rozwiązanie:
\begin{align}
2^x &= 8 \\
2^x &= 2^3 \\
x &= 3
\end{align}

Alternatywnie, możemy zastosować logarytm:
\begin{align}
2^x &= 8 \\
\log_2 2^x &= \log_2 8 \\
x &= \log_2 8 = 3
\end{align}

2. Równania postaci \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\), gdzie \(a > 0\), \(a \neq 1\)

Rozwiązanie: \(f(x) = g(x)\)

Przykład: Rozwiąż równanie \(3^{2x+1} = 3^{5-x}\).

Rozwiązanie:
\begin{align}
3^{2x+1} &= 3^{5-x} \\
2x+1 &= 5-x \\
2x+x &= 5-1 \\
3x &= 4 \\
x &= \frac{4}{3}
\end{align}

3. Równania postaci \(a^{f(x)} = b\), gdzie \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(b > 0\)

Rozwiązanie: \(f(x) = \log_a b\)

Przykład: Rozwiąż równanie \(4^{x^2-3} = 2\).

Rozwiązanie:
\begin{align}
4^{x^2-3} &= 2 \\
(2^2)^{x^2-3} &= 2 \\
2^{2(x^2-3)} &= 2^1 \\
2(x^2-3) &= 1 \\
x^2-3 &= \frac{1}{2} \\
x^2 &= \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2} \\
x &= \pm \sqrt{\frac{7}{2}} = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}
\end{align}

Równania logarytmiczne

Równania logarytmiczne to równania, w których występują logarytmy z niewiadomą. Przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych należy pamiętać o dziedzinie logarytmu: argumenty wszystkich logarytmów muszą być dodatnie.

1. Równania postaci \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\), gdzie \(a > 0\), \(a \neq 1\)

Rozwiązanie: \(f(x) = g(x)\), pod warunkiem że \(f(x) > 0\) i \(g(x) > 0\)

Przykład: Rozwiąż równanie \(\log_2 (3x+1) = \log_2 (x+5)\).

Rozwiązanie:
\begin{align}
\log_2 (3x+1) &= \log_2 (x+5) \\
3x+1 &= x+5 \\
3x-x &= 5-1 \\
2x &= 4 \\
x &= 2
\end{align}

Sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny równania:
\begin{align}
3x+1 &> 0 \\
3 \cdot 2 + 1 &> 0 \\
7 &> 0 \quad \checkmark
\end{align}

\begin{align}
x+5 &> 0 \\
2+5 &> 0 \\
7 &> 0 \quad \checkmark
\end{align}

Odpowiedź: \(x = 2\)

2. Równania postaci \(\log_a f(x) = b\), gdzie \(a > 0\), \(a \neq 1\)

Rozwiązanie: \(f(x) = a^b\), pod warunkiem że \(f(x) > 0\)

Przykład: Rozwiąż równanie \(\log_3 (2x-1) = 2\).

Rozwiązanie:
\begin{align}
\log_3 (2x-1) &= 2 \\
2x-1 &= 3^2 \\
2x-1 &= 9 \\
2x &= 10 \\
x &= 5
\end{align}

Sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny równania:
\begin{align}
2x-1 &> 0 \\
2 \cdot 5 – 1 &> 0 \\
10 – 1 &> 0 \\
9 &> 0 \quad \checkmark
\end{align}

Odpowiedź: \(x = 5\)

3. Równania z logarytmami o różnych podstawach

W takim przypadku często warto skorzystać ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu:

\[ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} \]

Przykład: Rozwiąż równanie \(\log_2 x + \log_4 x = 5\).

Rozwiązanie: Przekształćmy logarytm o podstawie 4 na logarytm o podstawie 2:
\begin{align}
\log_4 x &= \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} \\
\end{align}

Podstawiamy do równania:
\begin{align}
\log_2 x + \frac{\log_2 x}{2} &= 5 \\
\frac{2\log_2 x + \log_2 x}{2} &= 5 \\
\frac{3\log_2 x}{2} &= 5 \\
3\log_2 x &= 10 \\
\log_2 x &= \frac{10}{3} \\
x &= 2^{\frac{10}{3}} = 2^3 \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 8 \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 8 \cdot \sqrt[3]{2}
\end{align}

Sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny równania: \(x > 0\), co jest spełnione dla \(x = 8 \cdot \sqrt[3]{2}\).

Odpowiedź: \(x = 8 \cdot \sqrt[3]{2}\)

Nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych i logarytmicznych kluczowe jest określenie, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca.

Nierówności wykładnicze

Dla \(a > 1\) funkcja \(f(x) = a^x\) jest rosnąca, więc:

• Jeśli \(a^{f(x)} < a^{g(x)}\), to \(f(x) < g(x)\)
• Jeśli \(a^{f(x)} > a^{g(x)}\), to \(f(x) > g(x)\)

Dla \(0 < a < 1\) funkcja \(f(x) = a^x\) jest malejąca, więc:

• Jeśli \(a^{f(x)} < a^{g(x)}\), to \(f(x) > g(x)\)
• Jeśli \(a^{f(x)} > a^{g(x)}\), to \(f(x) < g(x)\)

Przykład: Rozwiąż nierówność \(2^{x-1} > 8\).

Rozwiązanie:
\begin{align}
2^{x-1} &> 8 \\
2^{x-1} &> 2^3 \\
\end{align}

Ponieważ \(2 > 1\), funkcja \(2^x\) jest rosnąca, więc:
\begin{align}
x-1 &> 3 \\
x &> 4
\end{align}

Odpowiedź: \(x \in (4, +\infty)\)

Nierówności logarytmiczne

Dla \(a > 1\) funkcja \(f(x) = \log_a x\) jest rosnąca, więc:

• Jeśli \(\log_a f(x) < \log_a g(x)\), to \(f(x) < g(x)\)
• Jeśli \(\log_a f(x) > \log_a g(x)\), to \(f(x) > g(x)\)

Dla \(0 < a < 1\) funkcja \(f(x) = \log_a x\) jest malejąca, więc:

• Jeśli \(\log_a f(x) < \log_a g(x)\), to \(f(x) > g(x)\)
• Jeśli \(\log_a f(x) > \log_a g(x)\), to \(f(x) < g(x)\)

Przykład: Rozwiąż nierówność \(\log_3 (2x-5) \leq 2\).

Rozwiązanie:
\begin{align}
\log_3 (2x-5) &\leq 2 \\
\end{align}

Ponieważ \(3 > 1\), funkcja \(\log_3 x\) jest rosnąca, więc:
\begin{align}
2x-5 &\leq 3^2 \\
2x-5 &\leq 9 \\
2x &\leq 14 \\
x &\leq 7
\end{align}

Pamiętamy również o dziedzinie logarytmu:
\begin{align}
2x-5 &> 0 \\
2x &> 5 \\
x &> \frac{5}{2}
\end{align}

Odpowiedź: \(x \in \left(\frac{5}{2}, 7\right]\)

Zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej

Zastosowania funkcji wykładniczej

1. Wzrost kapitału: Jeśli kapitał początkowy wynosi \(K_0\), a roczna stopa procentowa to \(r\) (w postaci dziesiętnej), to po \(t\) latach kapitał wyniesie:
   \[ K(t) = K_0 \cdot (1+r)^t \]
2. Rozpad promieniotwórczy: Jeśli początkowa ilość substancji promieniotwórczej to \(N_0\), a czas połowicznego rozpadu to \(T_{1/2}\), to po czasie \(t\) pozostanie:
   \[ N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} \]
3. Wzrost populacji: Jeśli początkowa liczebność populacji to \(P_0\), a stała wzrostu to \(k\), to po czasie \(t\) populacja będzie liczyć:
   \[ P(t) = P_0 \cdot e^{kt} \]

Zastosowania funkcji logarytmicznej

1. Skala pH: Mierzy stężenie jonów wodorowych w roztworze:
   \[ \text{pH} = -\log_{10}[H^+] \]
2. Skala decybelowa: Używana do pomiaru natężenia dźwięku:
   \[ L = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right) \]
   gdzie \(I\) to mierzone natężenie dźwięku, a \(I_0\) to próg słyszalności.
3. Skala Richtera: Mierzy magnitudę trzęsień ziemi:
   \[ M = \log_{10}\left(\frac{A}{A_0}\right) \]
   gdzie \(A\) to amplituda drgań, a \(A_0\) to amplituda referencyjna.
4. Obliczanie czasu: Jeśli znamy początkową wartość \(P_0\), końcową wartość \(P\) i stopę wzrostu \(r\), możemy obliczyć czas \(t\) potrzebny do osiągnięcia wartości końcowej:
   \[ t = \frac{\log\left(\frac{P}{P_0}\right)}{\log(1+r)} \]