Matura czerwiec 2016: analizy i odpowiedzi z matematyki

Matura z matematyki w czerwcu 2016 roku stanowiła wyzwanie dla wielu uczniów. W niniejszym artykule przeanalizujemy najważniejsze zadania, które pojawiły się na egzaminie, przedstawimy rozwiązania oraz wyjaśnimy kluczowe koncepcje matematyczne niezbędne do ich rozwiązania. Niezależnie od tego, czy przygotowujesz się do przyszłej matury, czy chcesz zrozumieć, jak podejść do podobnych problemów matematycznych, ten przewodnik będzie dla Ciebie pomocny.

Charakterystyka matury z matematyki – czerwiec 2016

Matura z matematyki w czerwcu 2016 roku, podobnie jak inne matury, składała się z dwóch części: podstawowej i rozszerzonej. Część podstawowa zawierała zadania zamknięte oraz otwarte, sprawdzające podstawowe umiejętności matematyczne. Część rozszerzona była przeznaczona dla uczniów, którzy chcieli wykazać się głębszą wiedzą i umiejętnościami z zakresu matematyki.

Analiza wybranych zadań z części podstawowej

Zadanie 1: Obliczanie wartości wyrażenia

Jednym z pierwszych zadań na maturze było obliczenie wartości wyrażenia algebraicznego. Przyjrzyjmy się przykładowemu zadaniu tego typu:

Oblicz wartość wyrażenia: \( \frac{2^{-2} \cdot 4^3}{8^{-1} \cdot 16^{1/2}} \)

Rozwiązanie:

Aby rozwiązać to zadanie, musimy skorzystać z własności potęg. Najpierw przekształćmy wszystkie liczby do tej samej podstawy, np. 2:

\( 4 = 2^2 \)

\( 8 = 2^3 \)

\( 16 = 2^4 \)

Teraz podstawiamy do wyrażenia:

\( \frac{2^{-2} \cdot (2^2)^3}{(2^3)^{-1} \cdot (2^4)^{1/2}} = \frac{2^{-2} \cdot 2^{6}}{2^{-3} \cdot 2^{2}} = \frac{2^{-2+6}}{2^{-3+2}} = \frac{2^{4}}{2^{-1}} = 2^{4+1} = 2^5 = 32 \)

Odpowiedź: Wartość wyrażenia wynosi 32.

Zadanie 2: Równanie z wartością bezwzględną

Rozwiąż równanie: \( |2x-3| = 5 \)

Rozwiązanie:

Równanie z wartością bezwzględną można rozwiązać, rozpatrując dwa przypadki:

Przypadek 1: Gdy \( 2x-3 \geq 0 \), czyli \( x \geq \frac{3}{2} \)

Wtedy \( 2x-3 = 5 \)

\( 2x = 8 \)

\( x = 4 \)

Przypadek 2: Gdy \( 2x-3 < 0 \), czyli \( x < \frac{3}{2} \)

Wtedy \( -(2x-3) = 5 \)

\( -2x+3 = 5 \)

\( -2x = 2 \)

\( x = -1 \)

Sprawdzamy rozwiązania:

Dla \( x = 4 \): \( |2 \cdot 4 – 3| = |8 – 3| = |5| = 5 \) – warunek spełniony

Dla \( x = -1 \): \( |2 \cdot (-1) – 3| = |-2 – 3| = |-5| = 5 \) – warunek spełniony

Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są \( x = -1 \) oraz \( x = 4 \).

Analiza wybranych zadań z części rozszerzonej

Zadanie 1: Funkcja kwadratowa

Dane są funkcje \( f(x) = x^2 – 4x + 4 \) oraz \( g(x) = ax^2 + bx + c \). Wiadomo, że \( g(-1) = 9 \), \( g(1) = 1 \) oraz \( g(2) = 0 \). Znajdź wzór funkcji \( g \) oraz oblicz współrzędne punktów wspólnych wykresów funkcji \( f \) i \( g \).

Rozwiązanie:

Najpierw znajdźmy wzór funkcji \( g \). Z warunków zadania mamy:

\( g(-1) = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = a – b + c = 9 \)

\( g(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c = 1 \)

\( g(2) = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 4a + 2b + c = 0 \)

Mamy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:

\( a – b + c = 9 \)

\( a + b + c = 1 \)

\( 4a + 2b + c = 0 \)

Z pierwszych dwóch równań:

\( (a – b + c) – (a + b + c) = 9 – 1 \)

\( -2b = 8 \)

\( b = -4 \)

Podstawiając \( b = -4 \) do drugiego równania:

\( a + (-4) + c = 1 \)

\( a + c = 5 \)

Podstawiając \( b = -4 \) i \( a + c = 5 \) do trzeciego równania:

\( 4a + 2 \cdot (-4) + c = 0 \)

\( 4a – 8 + c = 0 \)

\( 4a + c = 8 \)

Mamy układ równań:

\( a + c = 5 \)

\( 4a + c = 8 \)

Odejmując pierwsze od drugiego:

\( 3a = 3 \)

\( a = 1 \)

Podstawiając \( a = 1 \) do \( a + c = 5 \):

\( 1 + c = 5 \)

\( c = 4 \)

Zatem \( g(x) = x^2 – 4x + 4 \).

Aby znaleźć punkty wspólne wykresów funkcji \( f \) i \( g \), rozwiązujemy równanie \( f(x) = g(x) \):

\( x^2 – 4x + 4 = x^2 – 4x + 4 \)

Widać, że \( f(x) = g(x) \) dla każdego \( x \in \mathbb{R} \), co oznacza, że wykresy funkcji \( f \) i \( g \) pokrywają się.

Odpowiedź: Funkcja \( g(x) = x^2 – 4x + 4 \). Wykresy funkcji \( f \) i \( g \) pokrywają się, więc mają nieskończenie wiele punktów wspólnych.

Zadanie 2: Ciągi liczbowe

Dany jest ciąg arytmetyczny \( (a_n) \), w którym \( a_1 = -5 \) oraz \( a_4 = 1 \). Oblicz sumę pierwszych 10 wyrazów tego ciągu.

Rozwiązanie:

Najpierw obliczmy różnicę ciągu arytmetycznego \( r \). Wiemy, że:

\( a_1 = -5 \)

\( a_4 = 1 \)

W ciągu arytmetycznym \( a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \), więc:

\( a_4 = a_1 + (4-1) \cdot r = a_1 + 3r \)

\( 1 = -5 + 3r \)

\( 3r = 6 \)

\( r = 2 \)

Teraz możemy obliczyć sumę pierwszych 10 wyrazów ciągu. Dla ciągu arytmetycznego suma \( n \) pierwszych wyrazów wynosi:

\( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \)

Obliczmy \( a_{10} \):

\( a_{10} = a_1 + (10-1) \cdot r = -5 + 9 \cdot 2 = -5 + 18 = 13 \)

Teraz obliczmy sumę:

\( S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5 \cdot (-5 + 13) = 5 \cdot 8 = 40 \)

Odpowiedź: Suma pierwszych 10 wyrazów ciągu wynosi 40.

Zadania z geometrii analitycznej

Zadanie: Równanie okręgu

Znajdź równanie okręgu o środku w punkcie \( S = (2, -3) \) i przechodzącego przez punkt \( A = (5, 0) \).

Rozwiązanie:

Równanie okręgu o środku \( S = (x_0, y_0) \) i promieniu \( r \) ma postać:

\( (x – x_0)^2 + (y – y_0)^2 = r^2 \)

W naszym przypadku \( S = (2, -3) \), więc \( x_0 = 2 \) i \( y_0 = -3 \).

Aby znaleźć promień okręgu, obliczamy odległość między punktami \( S \) i \( A \):

\( r = \sqrt{(x_A – x_S)^2 + (y_A – y_S)^2} = \sqrt{(5 – 2)^2 + (0 – (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)

Teraz możemy zapisać równanie okręgu:

\( (x – 2)^2 + (y – (-3))^2 = (3\sqrt{2})^2 \)

\( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 18 \)

Odpowiedź: Równanie okręgu ma postać \( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 18 \).

Zadania z trygonometrii

Zadanie: Równanie trygonometryczne

Rozwiąż równanie: \( 2\sin^2 x – \sin x – 1 = 0 \) dla \( x \in [0, 2\pi) \).

Rozwiązanie:

Wprowadźmy podstawienie \( t = \sin x \). Równanie przyjmie postać:

\( 2t^2 – t – 1 = 0 \)

Rozwiązujemy to równanie kwadratowe:

\( \Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \)

\( t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4} \)

\( t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \)

\( t_2 = \frac{1 – 3}{4} = -\frac{1}{2} \)

Teraz rozwiązujemy równania \( \sin x = 1 \) oraz \( \sin x = -\frac{1}{2} \) dla \( x \in [0, 2\pi) \).

Dla \( \sin x = 1 \):

\( x = \frac{\pi}{2} \)

Dla \( \sin x = -\frac{1}{2} \):

\( x = \frac{7\pi}{6} \) lub \( x = \frac{11\pi}{6} \)

Odpowiedź: Rozwiązania równania to \( x = \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \).

Zadania z rachunku prawdopodobieństwa

Zadanie: Prawdopodobieństwo w urnie

W urnie znajduje się 5 kul białych i 7 kul czarnych. Losujemy jednocześnie 3 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy dokładnie 2 kule białe.

Rozwiązanie:

Całkowita liczba kul w urnie wynosi \( 5 + 7 = 12 \).

Liczba wszystkich możliwych sposobów wylosowania 3 kul z 12 wynosi \( \binom{12}{3} \).

\( \binom{12}{3} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1320}{6} = 220 \)

Aby wylosować dokładnie 2 kule białe i 1 kulę czarną, musimy:

• wybrać 2 kule białe spośród 5 kul białych: \( \binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \) sposobów
• wybrać 1 kulę czarną spośród 7 kul czarnych: \( \binom{7}{1} = 7 \) sposobów

Zgodnie z zasadą mnożenia, liczba sprzyjających zdarzeń wynosi \( \binom{5}{2} \cdot \binom{7}{1} = 10 \cdot 7 = 70 \).

Prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 2 kul białych wynosi:

\( P = \frac{\binom{5}{2} \cdot \binom{7}{1}}{\binom{12}{3}} = \frac{70}{220} = \frac{7}{22} \)

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 2 kul białych wynosi \( \frac{7}{22} \).

Kalkulator do rozwiązywania równań kwadratowych

Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomoże Ci rozwiązać równanie kwadratowe postaci \(ax^2 + bx + c = 0\).

Podsumowanie

Matura z matematyki w czerwcu 2016 roku obejmowała szeroki zakres zagadnień, od podstawowych działań na wyrażeniach algebraicznych, przez funkcje i równania, aż po geometrię analityczną i rachunek prawdopodobieństwa. Kluczem do sukcesu jest systematyczne ćwiczenie różnorodnych typów zadań oraz dogłębne zrozumienie podstawowych koncepcji matematycznych.

Pamiętaj, że podczas rozwiązywania zadań maturalnych ważne jest nie tylko uzyskanie poprawnego wyniku, ale również przedstawienie przejrzystego i logicznego rozumowania. Warto także zwrócić uwagę na poprawność zapisu matematycznego oraz dokładne sprawdzenie otrzymanych wyników.

Mamy nadzieję, że powyższa analiza zadań z matury z czerwca 2016 roku pomoże Ci w przygotowaniach do egzaminu maturalnego z matematyki. Powodzenia!