Logarytmy zadania maturalne – zbiór zadań z rozwiązaniami PDF

Logarytmy to jeden z ważniejszych działów matematyki, który regularnie pojawia się na egzaminie maturalnym. Właściwe zrozumienie tego tematu i umiejętność rozwiązywania zadań z logarytmami jest kluczowe dla osiągnięcia dobrego wyniku na maturze z matematyki, szczególnie na poziomie rozszerzonym. W tym artykule przedstawimy kompleksowy zbiór zadań maturalnych dotyczących logarytmów wraz z szczegółowymi rozwiązaniami.

Podstawowe wzory i właściwości logarytmów

Zanim przejdziemy do rozwiązywania zadań, przypomnijmy sobie najważniejsze definicje i właściwości logarytmów:

Logarytm liczby \(a\) przy podstawie \(b\) to taka liczba \(c\), że \(b^c = a\).

Zapisujemy to jako: \(\log_b a = c\)

Podstawowe właściwości logarytmów:

1. \(\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y\)
2. \(\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x – \log_b y\)
3. \(\log_b (x^n) = n \cdot \log_b x\)
4. \(\log_b b = 1\)
5. \(\log_b 1 = 0\)
6. \(b^{\log_b x} = x\) dla \(x > 0\)
7. \(\log_b b^x = x\)
8. \(\log_a x = \frac{\log_c x}{\log_c a}\) (wzór na zmianę podstawy logarytmu)

Warto również pamiętać, że logarytm jest określony tylko dla argumentów dodatnich, a podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią różną od 1.

Typowe zadania maturalne z logarytmami

Zadanie 1: Obliczanie wartości wyrażeń logarytmicznych

Treść zadania: Oblicz wartość wyrażenia \(\log_2 8 + \log_3 9 – \log_4 2\).

Rozwiązanie:

Korzystamy z właściwości logarytmów:

\(\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3 \cdot \log_2 2 = 3 \cdot 1 = 3\)

\(\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2 \cdot \log_3 3 = 2 \cdot 1 = 2\)

Dla \(\log_4 2\) musimy zastosować zmianę podstawy:

\(\log_4 2 = \frac{\log 2}{\log 4} = \frac{\log 2}{\log 2^2} = \frac{\log 2}{2 \log 2} = \frac{1}{2}\)

Teraz możemy obliczyć wartość całego wyrażenia:

\(\log_2 8 + \log_3 9 – \log_4 2 = 3 + 2 – \frac{1}{2} = 5 – \frac{1}{2} = \frac{10 – 1}{2} = \frac{9}{2} = 4,5\)

Odpowiedź: Wartość wyrażenia wynosi \(\frac{9}{2}\) lub \(4,5\).

Zadanie 2: Równania logarytmiczne

Treść zadania: Rozwiąż równanie \(\log_2 (x+3) + \log_2 (x-1) = 3\).

Rozwiązanie:

Korzystamy z właściwości logarytmów, aby przekształcić lewą stronę równania:

\(\log_2 (x+3) + \log_2 (x-1) = \log_2 ((x+3)(x-1)) = \log_2 (x^2 + 2x – 3)\)

Nasze równanie przyjmuje postać:

\(\log_2 (x^2 + 2x – 3) = 3\)

Korzystając z definicji logarytmu, możemy zapisać:

\(2^3 = x^2 + 2x – 3\)

\(8 = x^2 + 2x – 3\)

\(x^2 + 2x – 11 = 0\)

Rozwiązujemy równanie kwadratowe za pomocą delty:

\(\Delta = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 4 + 44 = 48\)

\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)

\(x_1 = \frac{-2 + 4\sqrt{3}}{2} = -1 + 2\sqrt{3}\)

\(x_2 = \frac{-2 – 4\sqrt{3}}{2} = -1 – 2\sqrt{3}\)

Sprawdzamy, czy otrzymane rozwiązania spełniają warunki dziedziny:

Dla \(x = -1 + 2\sqrt{3}\):

\(x + 3 = 2 + 2\sqrt{3} > 0\) (prawda, bo \(2\sqrt{3} > 0\))

\(x – 1 = -2 + 2\sqrt{3}\)

Sprawdźmy, czy \(-2 + 2\sqrt{3} > 0\):

\(2\sqrt{3} > 2\)

\(\sqrt{3} > 1\)

\(3 > 1\) (prawda)

Zatem \(x – 1 > 0\) dla \(x = -1 + 2\sqrt{3}\).

Dla \(x = -1 – 2\sqrt{3}\):

\(x – 1 = -2 – 2\sqrt{3} < 0\) (fałsz, nie spełnia warunku dziedziny)

Odpowiedź: Równanie ma jedno rozwiązanie: \(x = -1 + 2\sqrt{3}\).

Zadanie 3: Nierówności logarytmiczne

Treść zadania: Rozwiąż nierówność \(\log_3 (x-4) > \log_3 (2x+1)\).

Rozwiązanie:

Pamiętajmy, że funkcja logarytmiczna \(\log_a x\) jest rosnąca dla \(a > 1\) i malejąca dla \(0 < a < 1\).

W naszym przypadku \(a = 3 > 1\), więc funkcja \(\log_3 x\) jest rosnąca. Oznacza to, że jeśli \(\log_3 (x-4) > \log_3 (2x+1)\), to również \(x-4 > 2x+1\).

Rozwiązujemy nierówność:

\(x-4 > 2x+1\)

\(x-4-2x-1 > 0\)

\(-x-5 > 0\)

\(-x > 5\)

\(x < -5\)

Jednak musimy również uwzględnić dziedzinę logarytmów. Ponieważ argumenty logarytmów muszą być dodatnie, mamy dodatkowe warunki:

\(x-4 > 0 \Rightarrow x > 4\)

\(2x+1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}\)

Łącząc wszystkie warunki, otrzymujemy:

\(x < -5\) oraz \(x > 4\)

Te warunki są sprzeczne, ponieważ liczba nie może być jednocześnie mniejsza od -5 i większa od 4.

Odpowiedź: Nierówność nie ma rozwiązań.

Zadanie 4: Funkcje logarytmiczne

Treść zadania: Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji \(f(x) = \log_{1/2} (x^2 – 4)\).

Rozwiązanie:

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji logarytmicznej, musimy określić, dla jakich wartości \(x\) argument logarytmu jest dodatni oraz podstawa logarytmu jest dodatnia i różna od 1.

Podstawa logarytmu to \(\frac{1}{2}\), która jest dodatnia i różna od 1, więc ten warunek jest spełniony.

Argument logarytmu to \(x^2 – 4\). Musi on być dodatni:

\(x^2 – 4 > 0\)

\(x^2 > 4\)

\(|x| > 2\)

\(x < -2\) lub \(x > 2\)

Zatem dziedzina funkcji to \(D_f = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)\).

Aby wyznaczyć zbiór wartości, zauważmy, że funkcja \(\log_{1/2} x\) jest malejąca (ponieważ \(0 < \frac{1}{2} < 1\)).

Gdy \(x\) zbliża się do -2 z lewej strony lub do 2 z prawej strony, \(x^2 – 4\) zbliża się do 0 z prawej strony, więc \(\log_{1/2} (x^2 – 4)\) dąży do \(-\infty\).

Gdy \(|x|\) rośnie do nieskończoności, \(x^2 – 4\) również rośnie do nieskończoności, a \(\log_{1/2}\) z dużej liczby daje wartości zbliżające się do \(-\infty\) (ponieważ funkcja jest malejąca).

Zatem zbiór wartości funkcji to \(W_f = (-\infty, +\infty)\).

Odpowiedź: Dziedzina funkcji: \(D_f = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)\), zbiór wartości: \(W_f = (-\infty, +\infty)\).

Zadanie 5: Zastosowanie logarytmów w zadaniach praktycznych

Treść zadania: Pewna kultura bakterii zwiększa swoją liczebność według wzoru \(N(t) = N_0 \cdot 2^{t/5}\), gdzie \(N_0\) to początkowa liczba bakterii, a \(t\) to czas w godzinach. Ile czasu potrzeba, aby liczba bakterii wzrosła 10-krotnie?

Rozwiązanie:

Mamy znaleźć taki czas \(t\), dla którego \(N(t) = 10 \cdot N_0\).

Podstawiamy do wzoru:

\(N_0 \cdot 2^{t/5} = 10 \cdot N_0\)

Dzielimy obie strony przez \(N_0\):

\(2^{t/5} = 10\)

Stosujemy logarytm o podstawie 2 do obu stron:

\(\log_2 2^{t/5} = \log_2 10\)

\(\frac{t}{5} = \log_2 10\)

Możemy obliczyć \(\log_2 10\) korzystając ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu:

\(\log_2 10 = \frac{\log 10}{\log 2} \approx \frac{1}{0,301} \approx 3,32\)

Zatem:

\(\frac{t}{5} \approx 3,32\)

\(t \approx 5 \cdot 3,32 = 16,6\)

Odpowiedź: Liczba bakterii wzrośnie 10-krotnie po około 16,6 godzinach.

Kalkulator logarytmów

Poniżej znajduje się prosty kalkulator do obliczania wartości logarytmów o dowolnej podstawie:

Wykres funkcji logarytmicznej

Poniżej przedstawiamy interaktywny wykres funkcji logarytmicznej \(f(x) = \log_a(x)\) dla różnych wartości podstawy \(a\):

Podsumowanie najważniejszych wzorów

Poniższa tabela zawiera zestawienie najważniejszych wzorów dotyczących logarytmów, które są przydatne przy rozwiązywaniu zadań maturalnych: