Granice ciągów – zadania i rozwiązania
Wprowadzenie do granic ciągów
Granica ciągu to jedna z najważniejszych koncepcji w matematyce, szczególnie w analizie matematycznej. Pozwala nam określić, do jakiej wartości zbliża się ciąg liczbowy, gdy numer wyrazu dąży do nieskończoności. W tym artykule omówimy definicję granicy ciągu, najważniejsze twierdzenia oraz przedstawimy różnorodne zadania wraz z rozwiązaniami.
Definicja granicy ciągu
Mówimy, że ciąg liczbowy \((a_n)\) ma granicę równą \(g\) (zapisujemy: \(\lim_{n\to\infty} a_n = g\)), jeżeli dla każdej liczby \(\varepsilon > 0\) istnieje taka liczba naturalna \(N\), że dla wszystkich \(n > N\) zachodzi nierówność:
\[|a_n – g| < \varepsilon\]
Intuicyjnie oznacza to, że wyrazy ciągu mogą być dowolnie blisko liczby \(g\) dla wystarczająco dużych indeksów \(n\).
Podstawowe twierdzenia o granicach ciągów
Poniżej przedstawiamy najważniejsze twierdzenia, które ułatwiają obliczanie granic:
- Granica sumy ciągów: \(\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n\)
- Granica różnicy ciągów: \(\lim_{n\to\infty} (a_n – b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n – \lim_{n\to\infty} b_n\)
- Granica iloczynu ciągów: \(\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \cdot \lim_{n\to\infty} b_n\)
- Granica ilorazu ciągów: \(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_{n\to\infty} a_n}{\lim_{n\to\infty} b_n}\), gdy \(\lim_{n\to\infty} b_n \neq 0\)
- Granica ciągu stałego: Jeżeli \(a_n = c\) dla każdego \(n\), to \(\lim_{n\to\infty} a_n = c\)
Ważne granice, które warto zapamiętać
Poniższe granice są często wykorzystywane przy rozwiązywaniu zadań:
- \(\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0\)
- \(\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0\) dla każdego \(p > 0\)
- \(\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1\) dla każdego \(a > 0\)
- \(\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1\)
- \(\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\) (liczba Eulera)
- \(\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\)
Typowe metody obliczania granic ciągów
Istnieje kilka powszechnych metod obliczania granic ciągów:
- Podstawienie do wzoru – jeśli granica jest oczywista lub znana z twierdzenia
- Zastosowanie twierdzeń o działaniach na granicach
- Przekształcenie wyrażenia do znanej postaci
- Reguła de l’Hospitala (w przypadku granic funkcji, które można zastosować do ciągów)
- Porównywanie ciągów i stosowanie twierdzenia o trzech ciągach
- Metoda „dzielenia przez najwyższą potęgę” przy granicach ilorazów wielomianów
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1: Granica ciągu arytmetycznego
Treść: Oblicz granicę ciągu \(a_n = \frac{3n+2}{n}\).
Rozwiązanie:
Przekształćmy wyrażenie:
\[\begin{align}
a_n &= \frac{3n+2}{n} \\
&= 3 + \frac{2}{n}
\end{align}\]
Teraz obliczamy granicę:
\[\begin{align}
\lim_{n\to\infty} a_n &= \lim_{n\to\infty} \left(3 + \frac{2}{n}\right) \\
&= \lim_{n\to\infty} 3 + \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n} \\
&= 3 + 2 \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \\
&= 3 + 2 \cdot 0 \\
&= 3
\end{align}\]
Odpowiedź: \(\lim_{n\to\infty} \frac{3n+2}{n} = 3\)
Zadanie 2: Granica ciągu geometrycznego
Treść: Oblicz granicę ciągu \(a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\).
Rozwiązanie:
Jest to ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1 = \frac{1}{2}\) i ilorazie \(q = \frac{1}{2}\).
Ponieważ \(|q| = \left|\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} < 1\), to granica ciągu geometrycznego wynosi 0:
\[\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0\]
Odpowiedź: \(\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0\)
Zadanie 3: Granica ilorazu wielomianów
Treść: Oblicz granicę ciągu \(a_n = \frac{2n^2+3n-1}{5n^2+n+7}\).
Rozwiązanie:
Zastosujemy metodę dzielenia licznika i mianownika przez najwyższą potęgę \(n\), czyli \(n^2\):
\[\begin{align}
\lim_{n\to\infty} \frac{2n^2+3n-1}{5n^2+n+7} &= \lim_{n\to\infty} \frac{2+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^2}}{5+\frac{1}{n}+\frac{7}{n^2}} \\
\end{align}\]
Gdy \(n\) dąży do nieskończoności, wyrazy \(\frac{3}{n}\), \(\frac{1}{n^2}\), \(\frac{1}{n}\) i \(\frac{7}{n^2}\) dążą do 0, więc:
\[\begin{align}
\lim_{n\to\infty} \frac{2+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^2}}{5+\frac{1}{n}+\frac{7}{n^2}} &= \frac{2+0-0}{5+0+0} \\
&= \frac{2}{5}
\end{align}\]
Odpowiedź: \(\lim_{n\to\infty} \frac{2n^2+3n-1}{5n^2+n+7} = \frac{2}{5}\)
Zadanie 4: Granica ciągu z pierwiastkiem
Treść: Oblicz granicę ciągu \(a_n = \sqrt{n+1} – \sqrt{n}\).
Rozwiązanie:
Zastosujemy metodę mnożenia przez sprzężenie:
\[\begin{align}
a_n &= \sqrt{n+1} – \sqrt{n} \\
&= \frac{(\sqrt{n+1} – \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} \\
&= \frac{(n+1) – n}{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} \\
&= \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}
\end{align}\]
Teraz obliczamy granicę:
\[\begin{align}
\lim_{n\to\infty} a_n &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n} \left(\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1\right)} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1}
\end{align}\]
Gdy \(n\) dąży do nieskończoności, \(\frac{1}{\sqrt{n}}\) dąży do 0, a \(\sqrt{1+\frac{1}{n}}\) dąży do 1, więc:
\[\begin{align}
\lim_{n\to\infty} a_n &= 0 \cdot \frac{1}{1+1} \\
&= 0
\end{align}\]
Odpowiedź: \(\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n+1} – \sqrt{n}) = 0\)
Zadanie 5: Granica ciągu z liczbą e
Treść: Oblicz granicę ciągu \(a_n = \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n\).
Rozwiązanie:
Skorzystamy z twierdzenia, że \(\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x\) dla dowolnej liczby rzeczywistej \(x\).
W naszym przypadku \(x = 2\), więc:
\[\begin{align}
\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n = e^2
\end{align}\]
Odpowiedź: \(\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n = e^2 \approx 7.389\)
Zadanie 6: Granica ciągu z potęgą
Treść: Oblicz granicę ciągu \(a_n = n^{\frac{1}{n}}\).
Rozwiązanie:
Zastosujemy logarytm naturalny do przekształcenia wyrażenia:
\[\begin{align}
\ln(a_n) &= \ln(n^{\frac{1}{n}}) \\
&= \frac{1}{n} \ln(n)
\end{align}\]
Gdy \(n\) dąży do nieskończoności, \(\ln(n)\) również dąży do nieskończoności, ale wolniej niż \(n\). Dlatego \(\frac{\ln(n)}{n}\) dąży do 0.
\[\lim_{n\to\infty} \ln(a_n) = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n)}{n} = 0\]
Ponieważ funkcja wykładnicza jest ciągła, możemy zapisać:
\[\begin{align}
\lim_{n\to\infty} a_n &= \lim_{n\to\infty} e^{\ln(a_n)} \\
&= e^{\lim_{n\to\infty} \ln(a_n)} \\
&= e^0 \\
&= 1
\end{align}\]
Odpowiedź: \(\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1\)
Zadanie 7: Granica ciągu z pierwiastkiem kwadratowym
Treść: Oblicz granicę ciągu \(a_n = n \cdot \left(\sqrt{n+1} – \sqrt{n}\right)\).
Rozwiązanie:
Wykorzystamy przekształcenie z zadania 4:
\[\begin{align}
a_n &= n \cdot \left(\sqrt{n+1} – \sqrt{n}\right) \\
&= n \cdot \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \\
&= \frac{n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \\
&= \frac{n}{\sqrt{n} \left(\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1\right)} \\
&= \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1}
\end{align}\]
Gdy \(n\) dąży do nieskończoności, \(\sqrt{1+\frac{1}{n}}\) dąży do 1, więc:
\[\begin{align}
\lim_{n\to\infty} a_n &= \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{1 + 1} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{2} \\
&= \frac{1}{2} \lim_{n\to\infty} \sqrt{n} \\
&= \frac{1}{2} \cdot \infty \\
&= \infty
\end{align}\]
Odpowiedź: \(\lim_{n\to\infty} n \cdot \left(\sqrt{n+1} – \sqrt{n}\right) = \infty\) (ciąg jest rozbieżny)
Zadanie 8: Granica ciągu z wartością bezwzględną
Treść: Oblicz granicę ciągu \(a_n = \left|\frac{n-3}{n+2}\right|\).
Rozwiązanie:
Dla dużych wartości \(n\), licznik i mianownik są dodatnie, więc możemy pominąć wartość bezwzględną:
\[\begin{align}
\lim_{n\to\infty} a_n &= \lim_{n\to\infty} \left|\frac{n-3}{n+2}\right| \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{n-3}{n+2} \quad \text{(dla dużych } n \text{)} \\
\end{align}\]
Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę, czyli \(n\):
\[\begin{align}
\lim_{n\to\infty} \frac{n-3}{n+2} &= \lim_{n\to\infty} \frac{1-\frac{3}{n}}{1+\frac{2}{n}} \\
&= \frac{1-0}{1+0} \\
&= 1
\end{align}\]
Odpowiedź: \(\lim_{n\to\infty} \left|\frac{n-3}{n+2}\right| = 1\)
Kalkulator granicy ciągu arytmetycznego i geometrycznego
Kalkulator granicy ciągu
Wybierz rodzaj ciągu:
Pierwszy wyraz (a₁):
Różnica (r):