Bryły obrotowe: Zadania maturalne i sprawdziany dla uczniów

Bryły obrotowe to jeden z ważniejszych tematów geometrii przestrzennej, często pojawiający się na egzaminach maturalnych. W tym artykule omówimy najważniejsze zagadnienia związane z bryłami obrotowymi, przedstawimy kluczowe wzory oraz rozwiążemy typowe zadania maturalne. Zrozumienie tych zagadnień pomoże Ci skutecznie przygotować się do sprawdzianów i egzaminów.

Czym są bryły obrotowe?

Bryła obrotowa powstaje przez obrót figury płaskiej wokół prostej (osi obrotu). Najczęściej spotykane bryły obrotowe to:

• Walec – powstaje przez obrót prostokąta wokół jednego z jego boków
• Stożek – powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych
• Kula – powstaje przez obrót koła wokół jednej z jego średnic

Podstawowe wzory dla brył obrotowych

Walec

Walec o promieniu podstawy \(r\) i wysokości \(h\):

\[V = \pi r^2 h\] – objętość walca

\[P_p = \pi r^2\] – pole podstawy walca

\[P_b = 2\pi r h\] – pole powierzchni bocznej walca

\[P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r (r + h)\] – pole powierzchni całkowitej walca

Stożek

Stożek o promieniu podstawy \(r\), wysokości \(h\) i tworzącej \(l\):

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\] – objętość stożka

\[P_p = \pi r^2\] – pole podstawy stożka

\[P_b = \pi r l\] – pole powierzchni bocznej stożka

\[P_c = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)\] – pole powierzchni całkowitej stożka

\[l = \sqrt{r^2 + h^2}\] – długość tworzącej stożka

Kula

Kula o promieniu \(r\):

\[V = \frac{4}{3} \pi r^3\] – objętość kuli

\[P = 4 \pi r^2\] – pole powierzchni kuli

Typowe zadania maturalne z bryłami obrotowymi

Zadanie 1: Objętość i pole powierzchni walca

Treść: Dany jest walec, którego wysokość jest równa średnicy podstawy. Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej do objętości tego walca, jeśli promień podstawy wynosi 3 cm.

Rozwiązanie:

Dane:
\[r = 3 \text{ cm}\]
\[h = 2r = 6 \text{ cm}\]

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:
\[P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi \cdot 3^2 + 2\pi \cdot 3 \cdot 6 = 18\pi + 36\pi = 54\pi \text{ cm}^2\]

Obliczamy objętość walca:
\[V = \pi r^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 54\pi \text{ cm}^3\]

Stosunek pola powierzchni całkowitej do objętości:
\[\frac{P_c}{V} = \frac{54\pi \text{ cm}^2}{54\pi \text{ cm}^3} = \frac{1}{\text{cm}}\]

Odpowiedź: Stosunek pola powierzchni całkowitej do objętości wynosi 1 cm^-1.

Zadanie 2: Objętość stożka

Treść: Podstawą stożka jest koło o promieniu 4 cm. Kąt nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy wynosi 60°. Oblicz objętość stożka.

Rozwiązanie:

Dane:
\[r = 4 \text{ cm}\]
\[\alpha = 60°\]

Aby obliczyć objętość stożka, potrzebujemy wysokości \(h\). Wykorzystamy kąt nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy.

Z definicji funkcji trygonometrycznych:
\[\tan \alpha = \frac{h}{r}\]
\[\tan 60° = \frac{h}{4}\]
\[\sqrt{3} = \frac{h}{4}\]
\[h = 4\sqrt{3} \text{ cm}\]

Teraz możemy obliczyć objętość stożka:
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 4^2 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{64\pi\sqrt{3}}{3} \text{ cm}^3 \approx 116,35 \text{ cm}^3\]

Odpowiedź: Objętość stożka wynosi \(\frac{64\pi\sqrt{3}}{3} \text{ cm}^3 \approx 116,35 \text{ cm}^3\).

Zadanie 3: Przekrój osiowy walca

Treść: Przekrój osiowy walca jest kwadratem o polu 36 cm². Oblicz objętość tego walca.

Rozwiązanie:

Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego wymiary to wysokość walca \(h\) i średnica podstawy \(2r\). W tym przypadku jest to kwadrat, więc:
\[h = 2r\]

Pole tego kwadratu wynosi:
\[S = (2r)^2 = 4r^2 = 36 \text{ cm}^2\]
\[r^2 = 9 \text{ cm}^2\]
\[r = 3 \text{ cm}\]

Znając promień podstawy, możemy obliczyć wysokość:
\[h = 2r = 2 \cdot 3 = 6 \text{ cm}\]

Teraz obliczamy objętość walca:
\[V = \pi r^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 54\pi \text{ cm}^3 \approx 169,65 \text{ cm}^3\]

Odpowiedź: Objętość walca wynosi \(54\pi \text{ cm}^3 \approx 169,65 \text{ cm}^3\).

Zadanie 4: Stożek wpisany w kulę

Treść: W kulę o promieniu 5 cm wpisano stożek. Podstawa stożka jest kołem wielkim kuli, a wierzchołek stożka leży na powierzchni kuli. Oblicz objętość stożka.

Rozwiązanie:

Dane:
\[R = 5 \text{ cm}\] – promień kuli

Podstawa stożka jest kołem wielkim kuli, więc promień podstawy stożka jest równy promieniowi kuli:
\[r = R = 5 \text{ cm}\]

Wysokość stożka to odległość od środka podstawy do wierzchołka. Wierzchołek leży na powierzchni kuli, więc odległość od środka kuli do wierzchołka wynosi \(R = 5\) cm. Z twierdzenia Pitagorasa:
\[h^2 + r^2 = R^2\]
\[h^2 + 5^2 = 5^2\]
\[h^2 = 0\]
\[h = 0\]

Moment, coś jest nie tak. Sprawdźmy ponownie warunki zadania. Jeśli podstawa stożka jest kołem wielkim kuli, a wierzchołek leży na powierzchni kuli, to wysokość stożka musi być równa promieniowi kuli:
\[h = R = 5 \text{ cm}\]

Teraz obliczamy objętość stożka:
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 125 = \frac{125\pi}{3} \text{ cm}^3 \approx 130,9 \text{ cm}^3\]

Odpowiedź: Objętość stożka wynosi \(\frac{125\pi}{3} \text{ cm}^3 \approx 130,9 \text{ cm}^3\).

Zadanie 5: Kula i walec

Treść: Kula o promieniu 3 cm jest wpisana w walec. Oblicz stosunek objętości walca do objętości kuli.

Rozwiązanie:

Dane:
\[r_k = 3 \text{ cm}\] – promień kuli

Jeśli kula jest wpisana w walec, to średnica kuli jest równa wysokości walca, a promień kuli jest równy promieniowi podstawy walca:
\[r_w = r_k = 3 \text{ cm}\]
\[h_w = 2r_k = 6 \text{ cm}\]

Obliczamy objętość walca:
\[V_w = \pi r_w^2 h_w = \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 54\pi \text{ cm}^3\]

Obliczamy objętość kuli:
\[V_k = \frac{4}{3} \pi r_k^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36\pi \text{ cm}^3\]

Stosunek objętości walca do objętości kuli:
\[\frac{V_w}{V_k} = \frac{54\pi}{36\pi} = \frac{3}{2} = 1,5\]

Odpowiedź: Stosunek objętości walca do objętości kuli wynosi 1,5.

Kalkulator brył obrotowych

Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomoże Ci obliczyć objętość i pole powierzchni podstawowych brył obrotowych:

Wskazówki do rozwiązywania zadań z brył obrotowych

Podczas rozwiązywania zadań z brył obrotowych warto pamiętać o kilku kluczowych wskazówkach:

1. Rysuj szkice – nawet prosty szkic pomaga zrozumieć przestrzenne zależności
2. Zapisuj dane – wypisz wszystkie informacje podane w zadaniu
3. Stosuj twierdzenie Pitagorasa – przydaje się do obliczania tworzącej stożka czy przekątnych
4. Wykorzystuj podobieństwo figur – często pomocne przy zadaniach z przekrojami
5. Pamiętaj o jednostkach – szczególnie przy przeliczaniu pól i objętości
6. Sprawdzaj wyniki – zweryfikuj, czy otrzymany wynik jest sensowny

Typowe problemy na sprawdzianach

Na sprawdzianach i maturach często pojawiają się następujące typy zadań z brył obrotowych:

1. Obliczanie objętości i pola powierzchni podstawowych brył
2. Wyznaczanie wymiarów bryły przy znanych zależnościach (np. stosunek wysokości do promienia)
3. Obliczanie objętości brył powstałych przez obrót figur płaskich
4. Zadania z przekrojami brył płaszczyznami
5. Problemy z bryłami wpisanymi i opisanymi na innych bryłach
6. Obliczanie stosunków objętości lub pól powierzchni różnych brył

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Poniżej znajdziesz kilka zadań do samodzielnego rozwiązania. Sprawdź swoje umiejętności!

Zadanie 1

Podstawą stożka jest koło o promieniu 6 cm. Tworząca stożka ma długość 10 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka.

Zadanie 2

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku 8 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca.

Zadanie 3

Objętość stożka wynosi 100π cm³. Wysokość stożka jest równa średnicy podstawy. Oblicz wysokość tego stożka.

Zadanie 4

Kula o promieniu 5 cm została przecięta płaszczyzną odległą o 3 cm od środka kuli. Oblicz pole powstałego przekroju.

Zadanie 5

Stożek ma objętość 36π cm³ i wysokość 9 cm. Oblicz promień podstawy tego stożka.

Rozwiązania zadań do samodzielnego rozwiązania

Rozwiązanie zadania 1

Dane:
\[r = 6 \text{ cm}\]
\[l = 10 \text{ cm}\]

Aby obliczyć objętość stożka, potrzebujemy wysokości \(h\). Wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa:
\[l^2 = r^2 + h^2\]
\[10^2 = 6^2 + h^2\]
\[100 = 36 + h^2\]
\[h^2 = 64\]
\[h = 8 \text{ cm}\]

Obliczamy objętość stożka:
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi \text{ cm}^3\]

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:
\[P_c = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l) = \pi \cdot 6 \cdot (6 + 10) = \pi \cdot 6 \cdot 16 = 96\pi \text{ cm}^2\]

Odpowiedź: Objętość stożka wynosi \(96\pi \text{ cm}^3\), a pole powierzchni całkowitej wynosi \(96\pi \text{ cm}^2\).